\section{群及元素的阶}

%本节只简要介绍几个名词， 并不深人， 可简化以下叙述， 利于将来学用。
\begin{frame}{群}

考虑集合
\[
G=\{1, \mathrm{i},-1,-\mathrm{i}\}
\]
（其中 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ )，其元素可做乘法运算，且满足如下 4 条性质（对 $\forall a, b, c \in G$):

(1) $G$ 中元素之积仍在 $G$ 中。

(2) 乘法满足结合律 (即 $(a b) c=a(b c)$).

(3) 有 $1 \in G$ 使 $1 a=a$ ($\forall a \in G$).

(4) 对每个 $a \in G$, 存在 $a^{\prime} \in G$, 使 $a a^{\prime}=1$.

因 $G$ 中有乘法运算满足此 4 条， 我们称 $G$ 是一个 (乘法) \emph{群}。

\pause
\begin{definition}%定义1
一个群 (group) 就是一个集合 $G$, 其中的元素之间有一个二元运算 (即任意的 $a, b \in G$ 对应于 $G$ 中唯一元素 (记为 $a \cdot b$ 或 $a b$ )), 具有如下 4 条性质：

GR1 (封闭性） $a b \in G$ （对任意 $a, b \in G$);

GR2 (结合律)  $(a b) c=a(b c)$ （对任意 $a, b, c \in G$);

GR3 (存在单位元) 存在元素 $e \in G$ 使 $e a=a e=a$ (对任意 $a \in G$);

GR4 (元素皆可逆) 对任一元素 $a \in G$, 存在 $a^{\prime} \in G$ 使 $a a^{\prime}=a^{\prime} a=e$.

如果群 $G$ 还满足交换律， 即

COMM (交换律) $a b=b a$ （对任意 $a, b \in G$),则称 $G$ 是\emph{交换群}或 \emph{Abel (阿贝尔) 群} (Abelian group).
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
确切地说， 上述定义的群是乘法群， 
因为我们将群中的二元运算用乘法符号表示了 (即 $a, b \in G$ 运算结果记为了 $a b$ ). 
因此， GR3 中的元素 $e$ 常记为 $1$,
称为 (乘法) \emph{单位元}或\emph{幺元} (identity element), GR4 中的 $a^{\prime}$ 常记为 $a^{-1}$, 
称为 $a$的 (乘法) \emph{逆 (元)} (inverse(element)).  条件 GR1-GR4 称为群的 4 条公理。
例如，非零有理数集 $\mathbb{Q}^{*}$, 非零实数集 $\mathbb{R}^{*}$, 非零复数集 $\mathbb{C}^{*}$ 都是乘法 Abel 群。

\pause
\setcounter{lemma}{1}
\begin{lemma}%引理2
(1) 群 $G$ 的单位元 $e$ 是唯一的。

(2) 群 $G$ 中元素 $a$ 的逆是唯一的。

(3) 定义 1 中， GR3 和 GR4 中的等式 $e a=a e=a$ 和 $a a^{\prime}=a^{\prime} a=e$, 可分别简化为 $e a=a$ 和 $a^{\prime} a=e$, 则定义仍不失本义。
\end{lemma}

\pause
  \begin{proof}
   (1) 若 $e, e^{\prime}$ 均为单位元， 则 $e=e e^{\prime}=e^{\prime}$.

  (2) 若 $a a^{\prime}=a a^{\prime \prime}=e$, 则 $a^{\prime} a a^{\prime}=a^{\prime} a a^{\prime \prime}=a^{\prime} e$, 由 $a^{\prime} a=e$ 知 $a^{\prime}=a^{\prime \prime}$.

(3) 对 $a^{\prime} a a^{\prime}$ 和 $a a^{\prime} a$ 均用结合律， 由简化后的二式知
\[
a^{\prime}\left(a a^{\prime}\right)=\left(a^{\prime} a\right) a^{\prime}=e a^{\prime}=a^{\prime}
\]
左边乘 $\left(a^{\prime}\right)^{-1}$ 则 $e\left(a a^{\prime}\right)=e$, 即得 $a a^{\prime}=e$. 再由 $a e=a\left(a^{\prime} a\right)=\left(a a^{\prime}\right) a=e a=a$, 即得原定义二式。
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{example}
\[
  W_{1}=\{1\}, \quad W_{2}=\{1,-1\}, \quad W_{3}=\left\{1, \omega, \omega^{2}\right\} \; (\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}), \quad 
W_{4}=\{1, \mathrm{i}, -1, -\mathrm{i}\}
\]
都是Abel群。
\pause
更一般地，
对任一正整数 $n$, 令
\[
\zeta=\zeta_{n}=\mathrm{e}^{\frac{2 \pi i}{n}}=\cos \frac{2 \pi}{n}+\mathrm{i} \sin \frac{2 \pi}{n}
\]
称为一个 \emph{$n$ 次本原复单位根}， 它满足 $\zeta^{n}=1$, 而 $\zeta^{k} \neq 1$ (对 $k=1,2, \cdots, n-1$) (满足此性质的复数都称为 $n$ 次本原复单位根)。 于是方程 $X^{n}=1$ 的解 (称为 \emph{$n$ 次复单位根}) 的全体恰为
\[
W_{n}=\left\{1, \zeta, \zeta^{2}, \cdots, \zeta^{n-1}\right\}
\]
则 $W_{n}$ 是乘法 Abel 群。 上述 $W_{1}, \cdots, W_{4}$ 都是其特例。
\end{example}

\begin{example}%例2
令 $G=W_2\times W_2=\left\{(a, b) \mid a, b \in W_{2}\right\}=\{(1,1),(1,-1),(-1,1)$, $(-1,-1)\}$, 定义乘法
\[
(a, b)\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)=\left(a a^{\prime}, b b^{\prime}\right)
\]
则 $G$ 是群。 乘法单位元是 $(1,1)$. $(a, b)^{-1}=\left(a^{-1}, b^{-1}\right)$.
\end{example}

\end{frame}

\begin{frame}
\setcounter{lemma}{0}
  \begin{lemma}%引理1
    [环的单位群] 含幺环 $R$ 的可逆元 (又称为单位) 集合 $R^{*}$ 带上
    $R$的乘法是乘法群， 称为 $R$ 的\emph{单位群} (unit group).
\end{lemma}
\setcounter{lemma}{2}
\pause
\begin{proof}
(1) $R^{*}$ 对乘法封闭： 若 $a, b \in R$ 均可逆， 则
\[
(a b)\left(b^{-1} a^{-1}\right)=a\left(b b^{-1}\right) a^{-1}=1
\]
故 $a b$ 可逆。 
\pause
(2) 乘法结合律：由环的定义知， 其乘法满足结合律。
\pause
(3) $R^{*}$ 中含乘法单位元： 含么环 $R$ 的乘法单位元 (幺元) $1$ 即是。
\pause
(4) $R^{*}$ 的元素皆可逆： 按 $R^{*}$ 的定义， 其元素 $a$ 是 $R$ 的可逆元，
即有 $a^{\prime} \in R$ 使 $a a^{\prime}=a^{\prime} a=1$, 而此式也说明了 $a^{'} \in R^{*}$.
\end{proof}

\begin{example*}
(1) $R=\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z}$ 时， $R^{*}=(\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z})^{*}=\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\}$ 是乘法 Abel 群 (Klein 四元群). 
\pause
一般地， 同余类环 $\mathbb{Z} / m \mathbb{Z}$ 的单位群 (可逆元集) 为
 \[
   U_{m}=(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{*}=\{\bar{a} \mid(a, m)=1,1 \leqslant a<m\}.
 \]
  它是 $\varphi(m)$ 个元素的 Abel 群。

  \pause
  (2) 元素都是实数的 $n$ 阶方阵全体 $M_{n}(\mathbb{R})$ 是一个环 (非交换，除非$n=1$), 方阵 $A$ 可逆当且仅当其行列式 $\operatorname{det} A \neq 0$. 
\pause
  故方阵环的单位群为 $\GL_{n}(\mathbb{R})$, 即 $n$ 阶可逆方阵集，是一个群 (非交换，除非$n=1$)。
 \end{example*}
\end{frame}

\begin{frame}

 对于 Abel 群 $G$, 有时候将其元素之间的二元运算记为加法， 即任意 $a, b \in$ $G$ 对应于 $G$ 中唯一元素， 记为 $a+b$. 则称 $G$ 为\emph{加法群}。 
 \pause
其运算需要满足的 5 条性质化为 (加法形式):

GR1' (封闭性) $a+b \in G$ （对任意 $a, b \in G$ );

GR2' (结合律) $(a+b)+c=a+(b+c)$ （对任意 $a, b, c \in G)$;

GR3' (存在单位元) 存在元素 $0 \in G$ 使 $0+a=a+0=a$ （对任意 $a \in G$ );

GR4' (元素皆可逆) 对任一元素 $a \in G$, 存在 $a^{\prime} \in G$ 使 $a+a^{\prime}=a^{\prime}+a=0$;

COMM' (交换律) $a+b=b+a$ （对任意 $a, b \in G$ ).

而 GR3'中的元素 $0$ 称为\emph{加法单位元}或\emph{零元} (zero element), GR4' 中的 $a^{\prime}$ 记为 $-a$, 称为 $a$ 的\emph{负元} (negative element).

~

  加法群的例子：整数集 $\mathbb{Z}$, 偶数集合 $2 \mathbb{Z}, 7$ 的倍数集 $7 \mathbb{Z}$, 同余类集 $\mathbb{Z} / \mathrm{m} \mathbb{Z}$,有理数集 $\mathbb{Q}$, 实数集 $\mathbb{R}$, Gauss 整数集 $\{m+n \mathrm{i} \mid m, n \in \mathbb{Z}\}$.

  \pause
  再如，任一个环是一个加法群。 任一个域 $F$ 是一个加法 (Abel) 群， 且非零元集 $F^{*}$ 是乘法 Abel 群。 平面上的向量 (即从原点 $O$ 到某点 $P$ 的有向线段)集合是加法群。 任一线性空间是一个加法群。

 \end{frame}

 \begin{frame}
   现在考虑乘法群 $G$, 其元素个数称为群 $G$ 的\emph{阶} (order), 记为$\sharp  G$ 或 $|G|$.
   有限阶的群称为\emph{有限群}。 
\pause
   设 $H$ 是 $G$ 的子集合， 以 $G$ 的运算 (限制到 $H$ ) 和单位元构成群， 则称 $H$ 是 $G$ 的\emph{子群} (subgroup), 记为 $H\leqslant G$.
   \pause
   $H$是$G$的子群也相当于$H$是对乘法和取逆封闭的$G$的非空子集。

   \pause
设 $a \in G$, 考虑 $a^{k}$ (对 $k=1,2,3, \cdots$), 有两种情形：

\textbf{情形 1.} $a^{k} \neq 1$ (对任意 $k \neq 0$), 此时称 $a$ 的阶为无穷 (无限大), 记为 $\operatorname{ord}(a)=\infty$.

\textbf{情形 2.} $a^{k}=1$ (对某 $k \neq 0$), 则存在使 $a^{n}=1$ 的最小正整数 $n$; 此时称 $a$的阶为 $n$, 记为 $\operatorname{ord}(a)=n$.

(元素 $a$ 的\emph{阶} (order), 也称为\emph{周期} (period), 或\emph{指数} (exponent).)

\pause
例如， $G=(\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z})^*=\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\}$ 是乘法群， $\operatorname{ord}(\bar{a})$ 也记为 $\operatorname{ord}_{8}(a)($ 称为 $a$ 的模 $8$ 阶 (周期))。
则 $\operatorname{ord}_{8}(3)=\operatorname{ord}_{8}(5)=\operatorname{ord}_{8}(7)=2, \operatorname{ord}_{8}(1)=1$.

\pause
\begin{lemma}%引理3
  [元素的阶的性质] 设 $a$ 为群 $G$ 中元素， 则
  $a^{k}=1$当且仅当 $\operatorname{ord}(a) \mid k$.
\end{lemma}

\pause
\begin{proof}
  ($\Rightarrow$) 令$\operatorname{ord}(a)=n$. 设 $k=n q+r$ ($0 \leqslant r<n)$, 则
  \[ 1=a^{k}=a^{n q+r}=a^{n q} a^{r}=a^{r}. \]
  \pause
 故 $r=0$, 否则与 $\operatorname{ord}(a)=n$ (即 $n$ 是使 $a^{n}=1$ 的最小正整数) 矛盾。 即得 $n \mid k$.
 \end{proof}
 \end{frame}

 \begin{frame}
   \begin{lemma}%引理4
     [循环群， cyclic group]
     设 $a$ 为群 $G$ 中元素， 则集合
   \[
   \langle a\rangle=\left\{\cdots, a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, 1, a, a^{2}, a^{3}, \cdots\right\}
 \]
 是 $G$ 的一个 Abel 子群 (称 $\langle a\rangle$ 为 \emph{$a$ 生成的循环 (子)群}， $a$ 为此 (子)群的\emph{生成元}。 
 若 $G=\langle a\rangle$, 则称 $G$ 为\emph{循环群}).

  (1) 当 $\operatorname{ord}(a)=\infty$ 时， $\langle a\rangle$ 是无限群， $a^{i} \neq a^{j}($ 当 $i \neq j)$.

 (2) 当 $\operatorname{ord}(a)=n$ 时（对某自然数 $n$ ）， $\langle a\rangle$ 是 $n$ 阶循环群：
 \[
 \langle a\rangle=\left\{1, a, a^{2}, a^{3}, \cdots, a^{n-1}\right\}
 \]
 \end{lemma}

 \pause
 \begin{proof}
  因为 $a^{i} a^{j}=a^{i+j}, a^{i} a^{-i}=a^{0}=1$, 故 $\langle a\rangle$ 显然是 Abel 群。

  \pause
  (1)  $\operatorname{ord}(a)=\infty$ 时， 若 $a^{i}=a^{j}$ (当 $i<j$), 则 $a^{j-i}=1$, 与 $\operatorname{ord}(a)=\infty$ 矛盾。

  \pause
  (2)  $\operatorname{ord}(a)=n$ 时，任意 $k\in \ZZ$ 可表为 $k=n q+r$ ($0 \leqslant r<n$), 从而
\[
a^{k}=a^{n q} a^{r}=a^{r} \quad(r=0,1, \cdots, n-1)
\]
\pause
而假若 $a^{i}=a^{j}$ ($0 \leqslant i<j<n)$, 则 $a^{j-i}=1$ ($0 \leqslant j-i<n$), 这与 $\operatorname{ord}(a)=n$ 矛盾。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
 \begin{lemma}%引理5
   设 $G$ 为任一(乘法)群。 $a \in G$, 阶 $\operatorname{ord}(a)=n$.

  (1) 若 $a^{r}=1, a^{s}=1$, 则 $a^{(r, s)}=1$.

(2) 
对任意正整数 $k$ 有
\[
  \operatorname{ord}\left(a^{k}\right)=\frac{n}{(k, n)}.
\]
特别地，若 $k \mid n=\operatorname{ord}(a)$, 则
\[
  \operatorname{ord}\left(a^{k}\right)=\frac{n}{k}.
\]

 (3) 设群 $G$ 中元素 $a, b$ 的阶分别为 $n, m$ 且 $(m, n)=1, a b=b a$, 则 $a b$ 的阶为 $m n$.
 \end{lemma}
\pause
 \begin{proof}
  (1) 由 $a^{r}=1$ 和 $a^{s}=1$, 知 $n \mid r$ 且 $n \mid s$. 故 $n \mid(r, s)$. 即知 $a^{(r, s)}=1$.

  \pause
 (2) 记 $d=(n, k), n=n_{1} d, k=k_{1} d$. 
\pause
 首先有
 \[
   \left(a^{k}\right)^{n_{1}}=a^{k_{1} d n_{1}}=a^{n k_{1}}=1^{k_{1}}=1.
 \]
 \pause
 另一方面， 若 正整数$m$使得$1=\left(a^{k}\right)^{m}=a^{k_{1} d m}$, 则 $n \mid k_{1} d m$ (见 \S3.1 引理 3). 
 因 $\left(n, k_{1}\right)=1$,故 $n\left|d m, n_{1}\right| m$. 
 \pause
 这证明了 $\operatorname{ord}\left(a^{k}\right)=n_{1}$.

 \pause
  (3) 显然 $(a b)^{m n}=a^{m n} b^{m n}=1$. 而若 $(a b)^{k}=1$, 
  则 $1=(a b)^{k n}=a^{kn} b^{kn}=b^{k n}$, 故 $m \mid k n$, 得 $m \mid k$. 
  同理 $n \mid k$. 故 $m n \mid k$. 故 $a b$ 的阶为 $m n$.
\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{remark}%注记 1
$a^{k}$ 的阶为 $m /(k, m)$ 的实质是， $k$ 在 $m$ 中的因子补集是 $m /(k, m)$,见 \S2.3 定理 1 后注记。 
例如 $6$ 在 $8$ 中的因子补集 $8/2$.
\end{remark}
\pause
  \begin{example}%例3
  $n$ 次复单位根 (乘法) 群是 $n$ 阶循环群：
\[
  W_{n}=\left\{1, \zeta, \zeta^{2}, \cdots, \zeta^{n-1}\right\}.
\]
\pause
一个生成元为 $\zeta=\zeta_{n}$. 事实上， $W_{n}$ 恰有 $\varphi(n)$ 个生成元 (称为\emph{本原复单位根}): $\zeta^{a}$ (其中 $(a, n)=1,1 \leqslant a<n)$. 
\pause
这是因为， $\zeta^{a}$ 为生成元当且仅当阶为 $n$, 由引理 5 知这相当于
\[
n /(a, n)=n, \quad \text { 即~} (a, n)=1.
\]
\pause
也可直接证明 $\{\left(\zeta^{a}\right)^{k} \mid 1 \leqslant k<n\}=W_{n}$ : 若 $\left(\zeta^{a}\right)^{k_{1}} \neq\left(\zeta^{a}\right)^{k_{2}}$, 则 $\zeta^{a k_{1}-a k_{2}}=1$, 则
\[
n \mid a\left(k_{1}-k_{2}\right)
\]
因 $(a, n)=1$ 故 $n \mid\left(k_{1}-k_{2}\right)$, 即 $k_{1} \equiv k_{2}\left(\mod n\right)$, 这对 $1 \leqslant k_{1} \neq k_{2}<n$ 不可能。
\end{example}

 \end{frame}

 \begin{frame}
\begin{theorem}%定理1
  \color{gray}
有限阶 Abel 群的元素的阶是群的阶的因子。 详言之， 设 $G$ 为 $n$ 阶 Abel (乘法)有限群， 则 $G$ 中任意元素 $a$ 的阶 $\operatorname{ord}(a) \mid n$, 从而
\[
  a^{n}=1 \quad(\forall a \in G).
\]
\end{theorem}
\pause

\begin{proof}
  \color{gray}
 注意 $a G=\{a g \mid g \in G\}$ 与 $G$ 是同一集合。 这是因为， 若 $a g_{1}=a g_{2}$, 则在两边左侧各乘 $a^{-1}$, 即得 $g_{1}=g_{2}$; 故 $G=a G$. 取各自的元素之积可知
 \[
    \prod_{g \in G} g=\prod_{g \in G} a g=a^N\prod_{g \in G} g.
 \]
 消去 $\prod g$ 得到 $a^{N}=1$.
 \end{proof}

 \pause
 {  \color{gray}
 注意， 以上证法与 Fermat 小定理、Euler 定理的证明完全一样。 事实上，这两个定理是定理 1 的推论， 分别取 $G$ 为 $(\mathbb{Z} / p \mathbb{Z})^{*}$ 和 $(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{*}$ 即可。
}

 对非 Abel 群， 定理 1 仍然成立， 但证明通常用陪集分解证明(见下).
 \end{frame}

 \begin{frame}

   {\color{gray}
 设 $S$ 是群 $G$ 的非空子集合， 集合 $H$ 由所有可能的 $x_{1} x_{2} \cdots x_{s}$ 组成， 其中 $x_{i}$ 或 $x_{i}^{-1}$ 属于 $S(s$ 取遍正整数， $1 \leqslant i \leqslant s$).
 \pause
 显然 $H$ 是子群 (记为 $H=\langle S\rangle$, 称为 \emph{$S$ 生成的子群}). 
 \pause
 $S$ 中的元素称为 \emph{$\langle S\rangle$ 的生成元}。 
 \pause
 当 $S$ 是有限集时， $\langle S\rangle$ 称为\emph{有限生成的}。 
\pause
 例如 $S=\{a\}$ 只有一个元素的时候， $\langle S\rangle=\langle a\rangle$ 为循环群， 可能是无限的，也可能是有限的。 
\pause
 再如 $\mathbb{Z}$ 中 $S=\{4,6\}$ 时，
 \[
   \langle S\rangle=\langle 4,6\rangle=\{4 m+6 n \mid m, n \in \mathbb{Z}\}=\langle 2\rangle.
 \]
 \pause
 若 $G$ 为有限群， 则子集 $S$ 生成的子群 $H=\langle S\rangle$ 是由所有的 $x_{1} x_{2} \cdots x_{s}$ 组成 ($x_{i} \in S$). 
\pause
 这是因为对 $x \in S$ 必满足 $x^{m}=x^{n}$ (对某正整数 $m \neq n$ ), 否则与 $G$ 是有限群矛盾。 故
 \[
   x^{-1}=x^{n-m-1}.
 \]
 }
 \vspace{-1.5em}
 \pause
  \begin{theorem}%定理2
    [Lagrange(拉格朗日)] 子群的阶是母群阶的因子。 详言之， 设 $G$为有限群， $H$ 为其子群， 则
  \[
  \sharp  H \mid \sharp  G
\]
(称 $(G: H)=\sharp  G / \sharp  H$ 为子群 $H$ 的\emph{指数}。 )
\end{theorem}

\pause
由此可推知， $G$ 中任意元素 $a$ 的阶 $\operatorname{ord}(a) \mid n$ (因为 $a$ 生成循环子群 $H=\langle a\rangle$, 而$\sharp H =\operatorname{ord}(a))$.
 \end{frame}

\begin{frame}

  \begin{proof}[改用等价关系来说明作为等价关系的例子]
 不妨记 $G$ 为乘法群。 对任一固定的 $a \in G$, 令
 \[
 a H=\{a h \mid h \in H\}
 \]
 (称为 $H$ 的一个\emph{左陪集} (coset), 称 $a$ 为此陪集的代表元). 则 $H$ 与 $a H$ 之间有双射（一一对应）：
 $h\mapsto ah$ （若$ah_1=a h_2$, 左乘$a^{-1}$则$h_1=h_2$）。 
 故$\sharp H=\sharp aH$. 而若
 $a_{2} H \neq a_{1} H$, 则
 \[
   a_{2} H \cap a_{1} H=\emptyset \text {~(空集) }
 \]
 (若 $b \in a_{2} H \cap a_{1} H$, 则 $b=a_{2} h_{2}=a_{1} h_{1}, a_{2}=a_{1} h_{1} h_{2}^{-1}$, 
 于是对任意 $h \in H$ 有 $a_{2} h=a_{1}$ $h_{1} h_{2}^{-1} h \in a_{1} H$, 
 即 $a_{2} H \subset a_{1} H$. 同理 $a_{1} H \subset a_{2} H$, 故 $a_{2} H=a_{1} H$, 矛盾). 
 这说明， $H$的不同的陪集是不相交的。 
 因为 $G$ 的每个元素都属于 $H$ 的某个陪集 (例如 $a \in$ $a H$ ), 
 故 $G$ 的元素被划分为 $H$ 的不同陪集之并 (称为 $G$ 对 $H$ 的\emph{陪集分解}). 
 记陪集个数为 $s$, 则 $s \cdot \sharp  H=\sharp  G$. 故 $\sharp  H \mid \sharp  G$.
 \end{proof}

 \pause
 通常记陪集的个数为 $s=(G: H)$, 称为子群 $H$ 在 $G$ 中的\emph{指数} (index).

 \end{frame}

\begin{frame}

  \begin{example}%例4
    当 $G$ 为加法群时， $a$ 为代表的子群 $H$ 的陪集是 $a+H$. 
    \pause
    例如 $G=\mathbb{Z}$ 是加法群， $7 \mathbb{Z}=\{7 k \mid k \in \mathbb{Z}\}$ 是子群， $7 \mathbb{Z}$ 的陪集共有 $7$ 个， 故 $\mathbb{Z}$ 分解为如下陪集之并：
    \[
      7 \mathbb{Z}, \quad 1+7 \mathbb{Z}, \quad 2+7 \mathbb{Z},\quad 3+7 \mathbb{Z},\quad 4+7 \mathbb{Z},\quad 5+7 \mathbb{Z},\quad 6+7 \mathbb{Z}.
    \]
    \pause
  它们分别是星期日(集合), 星期一(集合)， $\cdots$, 星期六（集合).
\end{example}

\pause
因为元素 $a$ 生成一个循环子群 $H=\langle a\rangle$, 阶为 $\operatorname{ord}(a)$, 故定理 2 导致
\[
  \operatorname{ord}(a) \mid \sharp  G,
\]
从而 $a^{\sharp G}=1$. 故定理 2 可推导出定理 1, 定理 1 可推导出 Euler 定理， 又可推导出 Fermat 小定理。

\pause
\begin{definition}%定义2
设 $G, G^{\prime}$ 是两个群， 映射 $\sigma: G \rightarrow G^{\prime}$ 保运算， 即
\[
\sigma(a b)=\sigma(a) \sigma(b)
\]
（对任意 $a, b \in G$ ), 则称 $\sigma$ 是群的\emph{同态}映射。 如果 $\sigma$ 是同态映射， 而且是双射 (即一一对应), 则称 $\sigma$ 为\emph{同构}映射， 且称群 $G$ 与 $G^{\prime}$ 是\emph{同构的}， 记为 $G \cong G^{\prime}$.
\end{definition}

\pause
例如， $\sigma: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} / m \mathbb{Z}, a\mapsto\bar{a}$, 是加法群的同态映射。
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}%例5
  对 $\zeta=\zeta_{n}=e^{2 \pi \mathrm{i} / n}$,
\[
\begin{aligned}
W_{n}=\left\{1, \zeta, \zeta^{2}, \cdots, \zeta^{n-1}\right\} & \xrightarrow{\sigma} \mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \cdots, \overline{n-1}\}\\
\zeta^{k} &\mapsto \bar{k}
\end{aligned}
\]
是同构映射， 其中$\sigma$保持运算是因为：
\[
  \sigma(\zeta^{k} \cdot \zeta^{s})=\sigma(\zeta^{k+s})= \overline{k+s}=\bar{k}+\bar{s}=\sigma(\zeta^k)\sigma(\zeta^s).
\]
这一同构在数论三角和方法中得到应用。

\pause
一般地， $n$ 阶循环群 $G_{n}=\left\{1, g, g^{2}, \cdots, g^{n-1}\right\}$ 同构于 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}$, $\cdots, \overline{n-1}\}$, 对应为 $g^{k} \mapsto \bar{k}$.

\pause
再如
\[
  \begin{aligned}
  (\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z})^{*} & =\{\overline{1}, \overline{3}, \overline{5}, \overline{7}\} \stackrel{\tau}{\longrightarrow} \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} 
=\{(\overline{0}, \overline{0}),(\overline{1}, \overline{0}),(\overline{0}, \overline{1}),(\overline{1}, \overline{1})\}
\end{aligned}
\]
是同构映射： $\overline{3} \cdot \overline{5}=\overline{7} \mapsto(\overline{1}, \overline{0})+(\overline{0}, \overline{1})=(\overline{1}, \overline{1}), \overline{3}^{2}=\overline{1} \mapsto 2(\overline{1}, \overline{0})=$ $(\overline{0}, \overline{0})$, 等等。
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}



\begin{example}%例6
引理 4 中的无限循环群 $\langle a\rangle=\left\{\cdots, a^{-3}, a^{-2}, a^{-1}, 1, a, a^{2}\right.$, $\left.a^{3}, \cdots\right\}$ 同构于 $\mathbb{Z}$ (整数加法群), 其一一对应为 $a^{k} \rightarrow k$.
\end{example}
\pause
  \begin{lemma}%引理6
  $n$ 阶循环群 $G$ 中， $n$ 阶元 (即生成元) 的个数为 $\varphi(n)$ 个。
\end{lemma}

\pause
\begin{proof}
 设 $G=\left\{1, g, g^{2}, \cdots, g^{n-1}\right\}$. $a=g^{s}$ ($0 \leqslant s<n$) 为 $n$ 阶元 (生成元) 意味着 $1, a, a^{2}, \cdots, a^{n-1}$ 互不相同， 构成 $G$. 故 $a^{k}=g$ (对某 $k$ ), 即 $g^{3 k}=g^{1}$, 亦即 $s k \equiv 1(\bmod n)$ 对某 $k$ 成立。 这意味着 $\bar{s}$ 是 $\mathbb{Z} / n \mathbb{Z}$ 中可逆元， 这当且仅当 $(s, n)$ $=1$. 这种 $s$ 共 $\varphi(n)$ 个(见 §2.3, 定理 1).
 \end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}


 \begin{lemma}%引理7
   [群直积] (1) 设 $G_{1}, G_{2}$ 是两个乘法群， 令
 \[
 G_{1} \times G_{2}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}\right) \mid a_{1} \in G_{1}, a_{2} \in G_{2}\right\},
 \]
 \pause
 规定其中的乘法运算为
 \[
 \left(a_{1}, a_{2}\right)\left(a_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}\right)=\left(a_{1} a_{1}^{\prime}, a_{2} a_{2}^{\prime}\right),
 \]
 \pause
 则 $G_{1} \times G_{2}$ 为群， 称为群 $G_{1}, G_{2}$ 的\emph{外直积} (external direct product), 单位元为 $\left(e_{1}, e_{2}\right)$ ($e_{i}$ 为 $G_{i}$ 的单位元， $i=1,2$), $\left(a_{1}, a_{2}\right)^{-1}=\left(a_{1}^{-1}, a_{2}^{-1}\right)$. 
\pause
 上述对加法 Abel 群也成立， 常记 $G_{1} \times G_{2}$ 为
 \[
   G_{1} \oplus G_{2} \text { ~或~ } G_{1} \oplus_{e x} G_{2} \text { ~(称为\emph{外直和}， direct sum), }
 \]
 加法单位元为 $(0,0)$. 
\pause
若$G\cong G_1\times G_2$, 则此同构称为 $G$的\emph{外直积分解}。

 \pause
 (2) 设 $H, K$ 为 群 $G$ 的子群，满足 (i) $H \cap K=\{1\}$, (ii) 对任意的$h\in H, k\in K$, $hk=kh$, 则
 \[
 H K=\{h k \mid h \in H, k \in K\}
 \]
 为$G$的子群，且$HK\cong  H \times K$.
此时， $H K$ 称为\emph{内直积} (也记为 $H \times_{\text {in }} K$ ). 
\pause
若还有$G=HK$，即子群$H, K$满足 (i) $H \cap K=\{1\}$且$G=HK$, (ii) 对任意的$h\in H, k\in K$, $hk=kh$, 则
称$G=HK$为\emph{内直积分解}。
\pause
对加法群， 内直积称为\emph{内直和}， 记为 $H \oplus_{\mathrm{in}} K$.
 \end{lemma}
 外直积分解和内直积分解在逻辑上是等价的 (因此在观念上不必区分内、外直积)。
 我们已知若有内直积分解$G=HK$, 则$G\cong H\times K$.
 反过来，
 若$\varphi\colon G\rightarrow G_1 \times G_2$是同构，
 令$H=\varphi^{-1}(G_1), K=\varphi^{-1}(G_2)$, 则我们有内直积分解$G=HK$.
 \end{frame}


 \begin{frame}
 \begin{proof}
  (1) 均易直接验证。 例如 $\left(a_{1}^{-1}, a_{2}^{-1}\right)\left(a_{1}, a_{2}\right)=\left(a_{1}^{-1} a_{1}, a_{2}^{-1} a_{2}\right)=$ $\left(e_{1}, e_{2}\right)$.

 (2) 
要证明在给定条件下$HK$是子群，我们只用证明$HK$对乘积和取逆封闭：\\
(i) 对$hk, h'k'\in HK$, $(hk)(h'k')=(hh')(kk')\in HK$;\\
(ii) 对$hk\in HK$, $(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1}=h^{-1}k^{-1}\in HK$.\\
接下来我们建立群同构$HK\cong H\times K$.
首先注意到，$g\in HK$写成$g=hk$的写法是惟一的。诚然，
若 $h k=h_{1} k_{1}$, 则
 \[
 h_{1}^{-1} h = k_{1}  k^{-1}\in H \cap K=\{1\},
 \]
 故 $h=h_{1}, k=k_{1}$. 如此，我们可以定义映射
 \[
   \varphi\colon HK\rightarrow H\times K,\quad hk\mapsto (h,k).
 \]
 显然$\varphi$是满射，$g\in HK$写成$g=hk$的写法的唯一性表明$\varphi$是单射。
 而且，对$hk, h'k'\in HK$,
 \[
 \begin{aligned}
    \varphi(hk\cdot h'k')&= \varphi(hh'\cdot kk')=(hh', kk')\\
    &= (h,k)(h',k')=\varphi(hk)\varphi(h'k'),
   \end{aligned}
 \]
即$\varphi$保持运算，因此$\varphi$为群的同构。
 \end{proof}

 \pause
 以上引理 2-引理 6 和定理 1, 对加法群也是适用的 (当然要写为加法形式。 例如定理 1 化为 $n a=0$).
 \pause
 例如， 加法群的外直和：
 \[
   \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} \oplus_{\mathrm{ex}} \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z}=\{(\overline{0}, \overline{0}),(\overline{1}, \overline{0}),(\overline{0}, \overline{1}),(\overline{1}, \overline{1})\}.
 \]
  \end{frame}

 \begin{frame}
   再如， 加法群的内直和 (同构于外直和):
   \[
     \mathbb{Z} / 105 \mathbb{Z}=\langle\overline{70}\rangle \oplus_{\mathrm{in}}\langle\overline{21}\rangle \oplus_{\mathrm{in}}\langle\overline{15}\rangle \cong \mathbb{Z} / 3 \mathbb{Z} \oplus_{\mathrm{ex}} \mathbb{Z} / 5 \mathbb{Z} \oplus_{\mathrm{ex}} \mathbb{Z} / 7 \mathbb{Z}
   \]
   \pause
   事实上， §2.5 定理 2 和系 1, 孙子分解定理中， 环的内直和同构于外直和， 也都是加法群。 特别， 这些同构环的单位群当然也同构， 故 \S2.5 系 1 实际上是：

   \begin{corollary*}[系 1']%系
 若 $m=p_{1}^{n_{1}} \cdots p_{s}^{n_{s}}$ 为整数的素因子分解， 则 $U_{m}=(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{*}$ 同构于直积如下：
 \[
   \begin{gathered}
     U_{m} \stackrel{\sigma}{\cong} U_{p_{1}^{n_{1}}} \times \cdots \times U_{p_{s}^{n_{s}}},\quad
 \bar{b} \mapsto\left(\bar{b}, \cdots, \bar{b}\right)
 \end{gathered}
 \]
 且 $\overline{1} \mapsto(\overline{1}, \cdots, \overline{1}), \bar{b}^{-1}=\left(\bar{b}^{-1}, \cdots, \bar{b}^{-1}\right)$.
 \end{corollary*}

 \pause
 看一个著名例子， 乘法群的内直积 (同构于外直积):
 \[
   \begin{aligned}
   (\mathbb{Z} / 8 \mathbb{Z})^{*} & =\langle\overline{3}\rangle\langle\overline{5}\rangle=\{\overline{1} \cdot \overline{1}, \overline{3} \cdot \overline{1}, \overline{1} \cdot \overline{5}, \overline{3} \cdot \overline{5}\} \\
 & \cong\langle\overline{3}\rangle \times\langle\overline{5}\rangle=\{(\overline{1}, \overline{1}),(\overline{3}, \overline{1}),(\overline{1}, \overline{5}),(\overline{3}, \overline{5})\}
 \end{aligned}
 \]

 \pause
以下几节将主要考虑群 $G=U_{m}=(\mathbb{Z} / m \mathbb{Z})^{*}$, 
这是 $\varphi(m)$ 阶的乘法群 (称为\emph{单位群}). 
\pause
注意， 每个元素 $\bar{a} \in U_{m}$ 的阶 $\operatorname{ord}(\bar{a})$ 必是 $\varphi(m)=\sharp  U_{m}$ 的因子。 
$\operatorname{ord}(\bar{a})$也称为 $a$ 的\emph{模 $m$ 阶} (或\emph{周期}), 
也记为 $\operatorname{ord}_{m}(a)$, 即是使 $a^{k} \equiv 1 \left(\mod m\right)$ 成立的最小正整数 $k$. 
我们还将在 \S7.6, \S8.4 和附录 3 提到群。
\end{frame}

 \begin{frame}

  \begin{comment*}%评述
    群论， 是现代数学的第一场春风雷雨， 她带来了现代的代数和数学的现代化。 她来时， 甚至青鸟殷勤为探看之时， 即春风一扫两千年迷雾， 古希腊三大难题、方程根式解等难题， 即刻飘解。 她仅以四条公理而推衍出五彩缤纷的体系。 许多原来的权威面对她时惶恐失措 (例如 Galois (伽罗瓦), Abel 等
  的遭遇). 群是最基本的代数系统， 后续有环、域、线性空间、模， 乃至流形、概形等。 “今天的数学主要关心的是结构以及结构之间的关系， 而不是数之间的关系。 这种情况最初发生在 1800 年左右， 首次的突破是抽象群概念的引人。目前它在数学领域中已经无所不在” (数论大家 A. Selberg (赛尔贝格) 语). “我们目睹了代数在数学中名副其实的到处渗透”, 目睹了 “目前数学的代数化” (几何拓扑大师 H. Cartan(嘉当)语). 论数者单赞这 “群之美妙”曰：
\begin{poem}
若有神兮降人间， 四目渺兮子慕美。\\
东风飘兮释千难， 共君舞兮到长远。
\end{poem}
\end{comment*}\end{frame}


\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何为群？何为Abel群？何为单位元？何为逆元？
    \item 何为含幺环的单位群？
    \item 何为加法群？何为负元？
    \item 何为有限群、无限群？
    \item 试举一些群的例子。交换的或非交换的，有限的或无限的。
    \item 何为循环群？有限循环群和无限循环群在相差同构意义下的分类如何？
    \item 何为子群？如何验证？
    \item 给定一个群中的一些元素，如何构造包含这些元素的最小的子群（亦即这些元素生成的子群）？
    \item 关于元素的阶，说说你知道的事实。多多益善。
    \item 在有限群中，一个元素的阶、该元素生成的循环子群的阶、母群的阶的关系如何？
    \item 何为群的同态？群的同构？举例。
    \item 何为群的外直积、内直积？试举例。外直积分解与内直积分解如何在逻辑上等价？
  \end{enumerate}
\end{frame}
